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Mathematische Grundlagen für die Wirtschaftspolitik
1. Ableitungen und partielle Ableitungen
Einfache Ableitung. Für eine Funktion f(x) gibt die Ableitung f'(x) = \frac{df}{dx} die Steigung (Grenzrate der Veränderung) an.
Partielle Ableitung. Bei Funktionen mehrerer Variablen f(x_1, x_2) leitet man nach einer Variable ab und behandelt die anderen als Konstante:
\frac{\partial f}{\partial x_1} \quad \text{bzw.} \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}.
Beispiel (Cobb-Douglas): Y = K^\alpha L^{1-\alpha}.
\frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha\, K^{\alpha - 1} L^{1-\alpha}, \qquad \frac{\partial Y}{\partial L} = (1-\alpha)\, K^\alpha L^{-\alpha}.
2. Wichtige Ableitungsregeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | \frac{d}{dx} x^n = n\,x^{n-1} | \frac{d}{dx} k^{0{,}3} = 0{,}3\, k^{-0{,}7} |
| Konstantenregel | \frac{d}{dx}[a\cdot f(x)] = a\cdot f'(x) | \frac{d}{dx}[5x^2] = 10x |
| Summenregel | \frac{d}{dx}[f + g] = f' + g' | \frac{d}{dx}[x^2 + 3x] = 2x + 3 |
| Produktregel | \frac{d}{dx}[f\cdot g] = f'g + fg' | \frac{d}{dx}[x \cdot e^x] = e^x + x\,e^x |
| Quotientenregel | \frac{d}{dx}\!\left[\frac{f}{g}\right] = \frac{f'g - fg'}{g^2} | \frac{d}{dx}\!\left[\frac{x}{1+x}\right] = \frac{1}{(1+x)^2} |
| Kettenregel | \frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x) | \frac{d}{dx}\ln(1+x) = \frac{1}{1+x} |
Logarithmus: \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}. Exponentialfunktion: \frac{d}{dx} e^x = e^x.
3. Bedingung erster Ordnung (BEO / FOC)
Um ein Maximum oder Minimum von f(x) zu finden, setzt man die erste Ableitung gleich Null:
f'(x^*) = 0
Dies ist die Bedingung erster Ordnung (BEO, engl. first-order condition, FOC).
Bedingung zweiter Ordnung:
- f''(x^*) < 0: Maximum
- f''(x^*) > 0: Minimum
Beispiel (Gewinnmaximierung): Gewinn \pi(q) = p\cdot q - C(q) mit C(q) = q^2 + 10q.
\pi'(q) = p - 2q - 10 \stackrel{!}{=} 0 \quad \Rightarrow \quad q^* = \frac{p - 10}{2}.
Kontrolle: \pi''(q) = -2 < 0 ✓ (Maximum).
4. Optimierung unter Nebenbedingungen: Lagrange-Methode
Problem: Maximiere U(x_1, x_2) unter der Nebenbedingung p_1 x_1 + p_2 x_2 = m.
Schritt 1: Lagrange-Funktion aufstellen:
\mathcal{L}(x_1, x_2, \lambda) = U(x_1, x_2) - \lambda\,(p_1 x_1 + p_2 x_2 - m).
Schritt 2: Partielle Ableitungen gleich Null setzen:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \frac{\partial U}{\partial x_1} - \lambda\, p_1 = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \frac{\partial U}{\partial x_2} - \lambda\, p_2 = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -(p_1 x_1 + p_2 x_2 - m) = 0.
Schritt 3: Aus den ersten beiden Gleichungen folgt die Optimalitätsbedingung:
\dfrac{\partial U}{\partial x_1} \bigg/ \dfrac{\partial U}{\partial x_2} = \frac{p_1}{p_2}
Die Grenzrate der Substitution entspricht dem Preisverhältnis.
Beispiel: U = x_1^{0{,}5}\, x_2^{0{,}5}, p_1 = 2, p_2 = 1, m = 100.
\frac{0{,}5\; x_1^{-0{,}5}\; x_2^{0{,}5}}{0{,}5\; x_1^{0{,}5}\; x_2^{-0{,}5}} = \frac{x_2}{x_1} = \frac{2}{1} \quad \Rightarrow \quad x_2 = 2x_1.
Einsetzen in die Budgetrestriktion: 2x_1 + 2x_1 = 100 \Rightarrow x_1^* = 25, x_2^* = 50.
5. Wichtige Funktionstypen in dieser Vorlesung
| Funktion | Form | Verwendung |
|---|---|---|
| Linear | f(x) = a + bx | Nachfrage, Angebot, Kosten |
| Cobb-Douglas | Y = A\, K^\alpha L^{1-\alpha} | Produktion (Solow-Modell) |
| Logarithmisch | U = \ln(c) | Nutzenfunktion (Wohlfahrt) |
| Wurzelfunktion | U = \sqrt{c} = c^{0{,}5} | Nutzenfunktion (risikoavers) |
| Quadratisch | C(q) = aq^2 + bq | Kostenfunktion |
6. Nash-Gleichgewicht und Beste-Antwort-Funktion
Nash-Gleichgewicht: Eine Kombination von Strategien, bei der kein Spieler durch einseitiges Abweichen seinen Nutzen verbessern kann.
Beste-Antwort-Funktion: Die optimale Strategie eines Spielers gegeben die Strategien der anderen.
7. Erwartungswert und Summation
Erwartungswert: E[X] = \sum_i p_i \cdot x_i.
Beispiel: Erfolg mit Wahrscheinlichkeit 0,8 bringt 100 €, Misserfolg (0,2) bringt 0 €.
E[X] = 0{,}8 \cdot 100 + 0{,}2 \cdot 0 = 80\text{ €}.
Summation: \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + x_2 + \ldots + x_n (die Samuelson-Bedingung nutzt dies).
Hinweis: Diese Übersicht ersetzt kein Mathematik-Lehrbuch. Für eine ausführliche Darstellung siehe z.B. Sydsæter/Hammond: „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler.”